Exponential self-similar mixing and loss of regularity for continuity equations

We consider the mixing behaviour of the solutions of the continuity equation associated with a divergence-free velocity field. In this announcement we sketch two explicit examples of exponential decay of the mixing scale of the solution, in case of Sobolev velocity fields, thus showing the optimality of known lower bounds. We also describe how to use such examples to construct solutions to the continuity equation with Sobolev but non-Lipschitz velocity field exhibiting instantaneous loss of any fractional Sobolev regularity. To cite this article: A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Résumé Mélange auto-similaire exponentiel et perte de régularité pour l’équation de continuité. Nous étudions le comportement de mélange des solutions de l’équation de continuité associé à un champ de vélocité à divergence nulle. Dans cette annonce on esquisse deux exemples explicites de décalage exponentiel de l’échelle de mélange de la solution ; dans le cas des champs de vélocité Sobolev on démontre donc l’optimalité des estimations d’en bas connues. On décrit de même comment utiliser tels exemples pour construire des solutions de l’équation de continuité aux champs de vélocité Sobolev mais pas Lipschitzien : ces solutions perdent immédiatement toute régularité Sobolev fractionnaire. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Email addresses: [email protected] (Giovanni Alberti), [email protected] (Gianluca Crippa), [email protected] (Anna L. Mazzucato). Preprint submitted to the Académie des sciences September 7, 2014